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丁巨算法

八卷。元丁巨(生卒年不详)撰。丁巨始末未详,在《丁巨算法》自序中,丁巨记载了成书经过:“独余幼贱,不伍时流,经籍之余事。法物度轨,则间尝用心。因于算术上自九章,下至小法,数十百家,摘取要略。述算法八卷。”《丁巨算法》今仅有残本面世,在《知不足斋丛书》中收录六十二问,不足一卷;在《永乐大典》卷一六三四三至卷一六三四四中收有提纲一条,另有二十七问。其中提纲是列于问题前面的关于正方形与其内切圆、立方体与其内切球的有关周长、面积和体积等计算公式八条:“方求圆〔二十二乘,七除〕。圆求方〔七乘,二十二除〕。平面求周〔圆十二乘,方四乘〕。外圆求积〔圆物,六乘十二除〕。〔方物,八乘十六除〕。立圆求径〔九乘,十六除〕。立方求圆〔十六乘,九除〕。见斜求方〔五乘,七除〕。见方求斜〔七乘,五除〕。”现存的八十九个问题均是一般应用题,比较简单,只有一题为三元一次方程组应用题。大量的是度量衡换算的商业算题。例如:“今有鸡三只,价值二两;鸭七只,亦值二两。今持钱一百两,欲买二色各停,问鸡鸭各价多少?答曰:各买一百零五只。鸡价七十两,鸭价三十两。以钞一百两,以二十一乘之得二千一百为实,以二十为法除之,得一百零五只,乃鸡鸭数也。求价者倍鸡数三除之,倍鸭数七除之也。”在书中丁巨已广泛使用了十进小数,他称小数为“省数”,在解释权衡单位进率“两”后说:“今从省数者,两下止言钱、分、厘、毫、丝、忽,如银钱法。犹田亩之不用里角,而从顷、分、厘、毫、丝、忽也。”并且还给出了小数的专门记法,把“六十七两六钱八分”记作“⊥⊥”小数部分以小字记之,说明当时中国已相当熟练地使用十进小数了。丁巨在书中还用歌诀的形式给出一些问题的计算公式,如堆垛公式:“草垛添兴,以元乘今,折半积真;三角添一,又添二乘,六而一精,……”即为茭草垛:1+2+3十…+n=n(n+1);三角垛:1+3+6+…+=n(n+1)(n+2);……。在书中丁巨十分重视总结一般性的算法。他将一类比例算题称为“两头交易”,并给出了一般方法。例如“元雇车一两,议行道一千里,载重一千二百斤,与钞七十五两;今添重三百六十斤,行一千三百里,问与钞几何?”“此两头交易也,以今行道乘今载重,与元与钞相乘为实,却以元行道乘元载重为法,除之。如减斤重,减行道数,皆同此法,此双头交易乘除也”。对此类问题他进一步总结说:“凡两头交易,先布六草为法,己负者:甲乙乘为法,丁戊乘为实;丁怯者丙戊乘为法,甲乙己乘为实,戊阙者丙丁乘为法,甲乙己乘为实。甲乙丙,丁戊己,若以复乘之除之亦通。”在筹算除法方面丁巨提出了“撞归法”,改善了筹算除法运算。总之,《丁巨算法》代表了元明之际我国商业数学的发展水平,说明了当时数学进一步实用化、大众化,起到了普及数学教育的作用。《丁巨算法》成书于1355年,全帙版本不详,《永乐大典》中只有一小部分,鲍廷博的《知不足斋丛书》与李俨的《十三、十四世纪中国民间数学》中都录有残本。

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